2010-06-25 来源：新浪博客 我要评论（0）
丁益祥
全国著名数学特级教师，北京市陈经纶中学首席教师，数学教研组组长。是北京市优秀教师，中国科协教育专家委员会学术委员，中国管理科学研究院特约研究员，首都师范大学特级教师工作中心兼职硕士生导师，北京市高考评价组成员，北京市高中课改学科专家指导组成员，北京教科院中学数学兼职教研员。 曾在《现代高等教育》、《中国数学教育》、《数学通报》《中国考试》等报刊上发表文章180余篇，主编或参编《高中数学大全》、《高中数学补充教材》、《中学数学名师教学艺术》等书籍50余部，有19篇论文获国家或市级奖。
纵观2010年全国各地高考数学卷，试题中都透露出一个信息：小题综合化、注重能力化、考查思维化。从历年新课改地区卷子对比看，新课改将越来越趋于思维能力考查，传统题型的比例将会进一步缩小。这会给当前的教学带来一定的挑战。
对应数学，传统的解题方式一般是拿到题后判断该题的知识点考查方向，然后利用公式、定理或通过式子变形等手段进行做题。然而新课改后，这种广为应用的解题方法渐渐不能适应了。由于新题型综合性强，利用课本知识点，但跳脱于知识点，需要更多的是分析、判断等思维能力，因此很多考生对于新课改题型不适应，还在做传统模拟题，今年高考就吃了很大的亏。
而实行新课改的时间毕竟不久，很多老师的教学方向还更多倾向于传统题型。对于新题型除了加大关注的同时，还不能跳出传统题型框架，使得今年很多考生面对与平时大做特做模拟题风格完全不同的一些新题型无从下手，导致一些新实行课改地区的考生普遍认为今年高考数学偏难。而真实的情况不是试题本身的难度加大，而是考查的手段更新。
我们来看2010年高考大纲数学中“考试要求”规定：
数学科的考试，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力与素质的考查融为一体，全面检测考生的数学素养。
数学科考试要发挥数学作为基础学科的作用，既考查中学数学的知识和方法，又考查考生进入高校继续学习的潜能。
大纲中的“能力要求”是指思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识。并就各项能力作出了详细的分析，下面结合今年的高考真题来给大家谈一下这些能力，并就2011年的教学提出一些简单的看法和建议，希望能对广大学生备考方面提供一定的帮助和指引。
【考纲】1、思维能力：会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；会用类比、归纳和演绎进行推理；能合乎逻辑地、准确地进行表述。
数学是一门思维的科学，思维能力是数学学科能力的核心。数学思维能力是以数学知识为素材，通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符合表示、运算求解、演绎证明和模式构建等诸方面，对客观事物中的空间形式、数量关系和数学模式进行思考和判断，形成和发展理性思维，构成数学能力的主体。
今年思维能力的考察，体现在各个题型上。尤其是小题综合化，题型多变化方面，大大不同于模拟题，给考生带来很大的困扰。如北京卷第6小题：
（6）a、b为非零向量。“a⊥b”是“函数f(x)=(xa+b)·(xb-a)为一次函数”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条
充要条件原本是是考查数学集合部分，现在和函数、平面向量相结合，体现了小题综合化，需要学生对这道问题的分析、综合，充分考查学生的思维能力。本题解题思路大致为而f（x）为一次函数，ab相乘必须为0，而ab乘积为0能得出ab垂直关系，但ab垂直并不是ab=0的唯一条件，所以本题选B。本题表面考查集合的“充分必要条件”，实际上考查的还有函数的定义、平面向量之间的关系等基础知识，一环紧扣一环，所涉及的基础知识并不是很难，但跳出了传统命题模式，需要更多的分析判断能力。这种类型的题将会给一定数量的考生带来极大的困扰。
再如全国卷第15小题：
(15)直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点，则a的取值范围是
本小题不仅考查了函数的图像与性质，还综合了不等式的解法，这道题比较传统，侧重点主要放在考查了数形结合的数学思想，还是相当注重考查学生的数学思想和动手能力的。
【考纲】2、运算能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件和目标，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算。
运算能力是思维能力和运算技能的结合。运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等。运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力以及实施运算和计算的技能。
运算能力的考查不必多说，但是新课标形式下，多知识体系综合题型将越来越多，并且越来越趋于实际应用。因此需要学生投入更多的辨析能力和严谨的数据处理能力。比如全国卷18题：
(18)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效)
投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3。各专家独立评审．
(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
(II)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望。
像这类题型，需要学生的综合能力要求较高，从数学方面题目主要考查了等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、数学期望等知识，以及运用概率知识解决实际问题的能力。从综合素质教育方面，还考察了学生的阅读与分析能力，使得数学考试不再以纯数字、字母、公式命题为导向，文字说明也渐渐纳入数学考察体系。像这类不仅考查分类与整合思想，还考查了化归与转化思想，极注意实际应用的题型，各地每年都会出现。
【考纲】3、空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变换；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质。
空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力。主要表现为识图、画图和对图形的想象能力。识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指文字语言和符合语言转化为图形语言，以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换。对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想象能力高层次的标志。
空间想象能力的考查要求学生平时就培养对事物观察、分析、想象等能力。当前还欠缺这种能力的教学，大多都依靠学生自行领悟。其实是可以通过训练的。高考数学考查空间想象能力的题很多，不尽然是立体几何题。新课标背景下，平面移动轨迹、空间向量、圆锥曲线、平面几何、立体几何甚至函数题都有可能体现出来。这类题型在高考试卷中往往综合多变，和传统题型有很大的区别。举一道例题：
（14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。
设顶点p（x，y）的轨迹方程是y=f（x），则f（x）的最小正周期为；y=f（x）在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为 。
说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续。类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动。
这道题应该是北京卷的，本题是函数结合轨迹结合平面几何。只要弄清楚轨迹，就是利用初中学过的平面几何知识求面积即可。但要求有一定的分析、判断、抽象能力，只要牢牢抓住正方形“翻滚”时的不同顶点，作出对应的圆周轨迹（两个半径为1的90°扇形，一个半径为√2的90°扇形），就能迅速的做题。一旦欠缺这种思维能力，还保持这传统的做题模式，那么相对而言，就能考倒一片。
【考纲】4、实践能力：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；能应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述和说明。
实践能力是将客观事物数学化的能力。主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，构造想数学模式，将现实问题转化为数学问题，并加以解决。
这类题型也体现在前面的案例中，具体的案例我就不多说了。这类题型往往命题灵活，考查的方面很广，大部分考查的是排列组合、概率、统计分析等知识。但今后将会更多的朝着与函数、圆锥曲线综合的方向发展，属于多变开放的类型。需要学生们在阅读、分析、归纳方面做进一步调整。
【考纲】5、创新意识：对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段分析信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题。
创新意识是理性思维的高层次表现。对数学问题的"观察、猜测、抽象、概括、证明"，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强。
创新是为了选拔人才，而不是为了难倒学生。从2010年考纲要求学生具备的数学思想和能力，以及实行新课标以来，各地区命题手法上看，今后人才选拔的标准是更加侧重于能力和思维，通过死记硬背、题海战术等方式获取高分将越来越困难。这也是推行素质教育，减轻学生负担的一种体现，其背后的教育目的是更加注重培养学生个性化的思维能力、自己解决问题的能力。通过新题型的变化，逐步淘汰被人长久诟病的“填鸭式”教学。
当然，传统的教学还不能一棒子打死，在没有找到一种能够广泛引导、训练学生这种思维能力、自己解决问题的能力之前，当前数学教学方面，题海战术还是有一定的生存空间。笔者认为，既然暂时不能抛弃这种教学，但在日常教学中留给一定的时间，引导学生多思考、多交流，少些埋头蛮干，是能逐步适应高考课改的。
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